El módulo que separa a los que saben

Dos cursos pueden tener exactamente el mismo promedio y ser mundos distintos. El promedio solo, sin un acompañante, es información incompleta.

En el curso A casi todos están cerca del promedio: el 3,5 describe a la gente real. En el curso B nadie sacó 3,5: la mitad va muy bien y la otra mitad va muy mal, y el promedio es un número que no le pertenece a ningún estudiante.

Como profesor, esos dos cursos exigen decisiones opuestas. Como gerente, esos dos equipos también. Como paciente, esos dos tratamientos también.

Estas son las notas de los dos, para que compruebe usted mismo que el promedio es idéntico:

Curso A: 3,2 3,3 3,4 3,5 3,5 3,6 3,7 3,8 → media 3,5 desviación 0,2
Curso B: 1,8 2,0 2,2 2,4 4,7 4,9 5,0 5,0 → media 3,5 desviación 1,4

Rango: lo más fácil y lo más frágil

rango = dato mayor − dato menor

Se calcula en dos segundos y por eso se usa mucho. Su defecto es grave: usa solo dos datos y descarta todos los demás. Un solo caso raro lo dispara.

Notas: 3,0 3,2 3,4 3,5 3,6 3,8 4,0 → rango = 1,0. Razonable. Agregue un estudiante que sacó 1,0 → rango = 3,0. Se triplicó por una persona.

Úselo como primera mirada, nunca como conclusión.

Desviación estándar: la buena

La desviación estándar mide, en promedio, qué tan lejos del promedio vive cada dato. Si es pequeña, el grupo es parejo. Si es grande, el promedio no representa a casi nadie.

Cómo se calcula, y por qué cada paso

Vamos con cinco datos: 2, 4, 4, 6, 9.

Paso 1 — Calcule la media.

media = (2 + 4 + 4 + 6 + 9) / 5 = 25 / 5 = 5

Paso 2 — A cada dato réstele la media. Eso es lo que ese dato se aleja.

2 − 5 = −3 4 − 5 = −1 4 − 5 = −1 6 − 5 = 1 9 − 5 = 4

¿Por qué no sumamos esto y ya? Porque siempre da cero: los negativos cancelan a los positivos. (−3 −1 −1 +1 +4 = 0. Siempre. Es una propiedad de la media.)

Paso 3 — Eleve cada resta al cuadrado. Ahora todo es positivo.

9 1 1 1 16

Paso 4 — Promedie esos cuadrados. Eso es la VARIANZA.

varianza = (9 + 1 + 1 + 1 + 16) / 5 = 28 / 5 = 5,6

Paso 5 — Sáquele la raíz cuadrada. Eso es la DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

desviación = √5,6 ≈ 2,37

¿Por qué la raíz? Porque el paso 3 elevó al cuadrado y dejó el resultado en "unidades al cuadrado". Si los datos eran personas, la varianza está en "personas al cuadrado", que no significa nada. La raíz devuelve el resultado a las unidades originales, y por eso la desviación sí se puede interpretar.

Cómo se lee

En las 30 casas del módulo 3, la media era 4,57 personas y la desviación es aproximadamente 1,23 personas. Se reporta así:

"En promedio viven 4,6 personas por casa, y lo normal es encontrar entre 3,3 y 5,8."

Esa frase —centro más dispersión— es la que debe aparecer en su informe. Los límites salen de restar y sumar una desviación a la media.

Coeficiente de variación: comparar peras con manzanas

Problema: una desviación de 3 kg, ¿es mucho? Depende de si estamos pesando recién nacidos o toros. La desviación tiene unidades, así que no sirve para comparar cosas distintas.

CV = (desviación / media) × 100

Es la dispersión como porcentaje de la media, y no tiene unidades.

Ejemplo. Estaturas de un curso: media 1,65 m, desviación 0,08 m → CV = 4,8 %. Ingresos del mismo curso: media $1.200.000, desviación $700.000 → CV = 58 %. Conclusión: las familias de ese curso son mucho más desiguales en plata que en estatura. Ninguna otra medida permite decir eso.

Regla de bolsillo: CV bajo el 15 % → grupo homogéneo. Sobre el 30 % → grupo disparejo, y el promedio pierde valor como resumen.

Poblacional o muestral: la n y la n−1

Verá dos versiones de la fórmula, y dos funciones distintas en Excel.

• Si sus datos son toda la población (las 30 casas del estudio, y solo esas le interesan): divida entre n. Es DESVEST.P.
• Si sus datos son una muestra de algo más grande (60 encuestados para hablar de 420 estudiantes): divida entre n − 1. Es DESVEST.M.

¿Por qué n−1? Porque una muestra siempre sale un poquito más apretada que la población real —los extremos son raros, y es difícil que caigan en la muestra—. Dividir entre un número más pequeño agranda el resultado y corrige ese sesgo.

En la hoja de cálculo

Rango =MAX(A2:A61)-MIN(A2:A61)
Varianza poblac. =VAR.P(A2:A61) =VARP(A2:A61)
Varianza muestral =VAR.S(A2:A61) =VAR(A2:A61)
Desviación poblac. =DESVEST.P(A2:A61) =STDEVP(A2:A61)
Desviación muestral=DESVEST.M(A2:A61) =STDEV(A2:A61)
Coef. de variación =DESVEST.M(A2:A61)/PROMEDIO(A2:A61)*100

Práctica

Básico. Calcule a mano la desviación estándar de 10, 12, 14, 16, 18. (Haga los cinco pasos y escriba el porqué de cada uno.)

Intermedio. Dos vendedores tienen el mismo promedio mensual de $8.000.000. El vendedor A tiene desviación $500.000; el B, $4.000.000. Usted tiene que elegir a uno para un cliente grande que exige entregas constantes. ¿A cuál elige y por qué? ¿Y si lo que busca es alguien que rompa un récord?

Reto. Un colegio anuncia que subió su promedio institucional de 3,4 a 3,7 y que la desviación pasó de 0,6 a 1,1. Escriba tres frases explicándole al rector qué pasó realmente, y proponga una acción concreta.

Referencias

• Spiegelhalter, D. (2019). The Art of Statistics. En español: El arte de la estadística. Explica por qué reportar el centro sin la dispersión es información incompleta, con casos médicos reales.
• Diez, D. et al. OpenIntro Statistics, sección 2.1.2 (varianza y desviación estándar), incluida la discusión de por qué se divide entre n − 1. → https://www.openintro.org/book/os/
• StatQuest — Josh Starmer. Videos The Standard Deviation y Population and Estimated Parameters. La mejor explicación visual de la n − 1. → https://www.youtube.com/@statquest